EJU 2024 年第 1 回 数学 Course 1（文科） 第 6 题

已知 $\triangle ABC$ 三边 $AB=4,BC=2,CA=3$，在 $BC$ 延长线上取 $D$ 使 $\angle CAD=\angle BAC$，所以 $AC$ 平分 $\angle BAD$。（1）先求 $\cos\angle BAC$，在 $\triangle ACD$ 用余弦定理得 $x,y$ 的关系，再用角平分线定理得第二个关系，联立求 $x=AD,y=CD$。（2）用 $S=\frac12 r\cdot(\text{周长})$ 比较两个内切圆半径。（3）两个内心都在 $\angle B$ 的平分线上，先在 $\triangle ABI_2$ 求 $BI_2$，再按比例求 $I_1I_2$。