EJU 2002 年第 2 回 物理 第 1 题

取碰地前速率为u，碰地后向上速率为w。小球从高度$h_1$自由下落，忽略空气阻力，从起点到碰地前有$u^2=2gh_1$。地板静止，恢复系数定义为反弹法向速率与入射法向速率之比，所以$w=eu$。

反弹后到达最高点，动能转为重力势能，$w^2=2gh_2$。将碰撞前后速率关系平方，得到$2gh_2=e^2(2gh_1)$，约去共同常量，便有$h_2=e^2h_1$。

关键是分段：球在空中运动时，重力做功且机械能守恒；撞地的短暂过程可有机械能损失，用恢复系数单独描述，不能对落下与反弹全过程强行令机械能不变。恢复系数控制的是速率比，高度又与速率平方成正比，因此最终出现平方。

通常零到一的恢复系数对应反弹高度不超过原高。完全弹性极限e为一时恢复原高度，e为零时无向上的反弹速率；这两个边界也与式子相符。不同指数在端点可能同样满足，所以最终仍以速度关系的平方推导为准。