EJU 2009 年第 1 回 物理 第 1 题

棒没有平动，两个向上的支持力合起来必须等于向下的重力，所以 $N_\mathrm{A}+N_\mathrm{B}=Mg$。这条式子只能确定总量，还不能确定各支点分别承担多少。原图给出的关键是重心 G 在中点 C 的右侧，因此重力作用线更靠近 B，B 应承担较大的份额。

对 A 点取力矩最简洁。A 的支持力作用线经过转轴，力矩为零；B 的支持力臂为 $L$，重力臂则为 $L/2+d$。两者转动趋势相反，故 $N_\mathrm{B}L=Mg(L/2+d)$。由此得到 $N_\mathrm{B}=(1/2+d/L)Mg$，再从总支持力中减去它，得到 $N_\mathrm{A}=(1/2-d/L)Mg$。

这里的 $d$ 是重心偏离中点的距离，不能误当成离支点的距离，也不能因为棒水平就认为两力相等。不均匀棒的质量分布已由重心位置概括，无须再求沿棒各段的质量。检查 $d=0$ 时两支点均分重量；重心向 B 移动时，B 增大而 A 减小，均符合直觉。表达式中的 $d/L$ 无量纲，结果具有力的量纲。

还可以对 B 取矩复算：A 的支持力臂是整段支点距离，重力臂则是半段距离减去向右偏移量，所得 A 的结果与前述一致。两种取矩法必须使用同一重心作用线。若只检查总力，错误的两力组合也可能恰好相加等于重量，因此总力正确只是必要条件，不能代替力矩检验。