EJU 2025 年第 1 回 物理 第 12 题

设光进入芯层后与中心轴的夹角为 $r$。端面的法线沿光纤中心轴，斯涅尔定律给出 $\sin\theta=n_1\sin r$。

光到达芯层侧壁时，侧壁法线与中心轴垂直，因此侧壁入射角 $i=90^\circ-r$。当端面入射角达到临界值 $\theta_0$ 时，侧壁入射角恰好等于全反射临界角 $i_c$，满足 $\sin i_c=n_2/n_1$。于是 $n_2=n_1\cos r_0$，而端面关系为 $\sin\theta_0=n_1\sin r_0$。

将两式平方相加，$n_2^2+\sin^2\theta_0=n_1^2$，取正根得到 $n_2=\sqrt{n_1^2-\sin^2\theta_0}$。

结果小于 $n_1$，满足光从高折射率芯层进入低折射率包层才能全反射的要求。$\theta$ 变小时，$r$ 也变小，侧壁入射角反而增大，因而更容易全反射，与题目“只有 $\theta<\theta_0$”一致。

在严格全反射条件下，侧壁有 $i>i_c$。由于 $i=90^\circ-r$，这等价于 $r<r_0$，再经端面折射便成为 $\theta<\theta_0$，完整保持题面的不等式方向。临界等号用于求参数，此时侧壁折射光沿界面传播；不应把等号状态也写成题面要求的严格全反射。两处几何关系和临界边界都清楚后，平方消元才不会丢失物理条件。

由于光从端面中心进入，光线与轴所在平面包含圆柱径向，可用图示截面内的互余角关系，不需要额外引入偏轴斜射的几何参数。