EJU 2006 年第 1 回 物理 第 1 题

只研究A到B这一段。AB为直斜面，垂直斜面方向没有加速度，所以支持力为$N=mg\cos\theta$，动摩擦力大小为$f=\mu^{\prime}mg\cos\theta$。题中的$h$是竖直落差，不是滑行路程；由几何关系，$s_{AB}=h/\sin\theta$。

重力做正功$mgh$，摩擦始终与运动相反，做功$-fs_{AB}=-\mu^{\prime}mgh\cot\theta$。运动员从静止出发，动能定理给出$\frac12mv_B^2=mgh(1-\mu^{\prime}\cot\theta)$，于是$v_B=\sqrt{2gh(1-\mu^{\prime}\cot\theta)}$。支持力与瞬时位移垂直，不做功，因此不再添加一个支持力功项。

质量在等式两侧约掉，结果与运动员质量无关。令$\mu^{\prime}=0$可回到$v_B=\sqrt{2gh}$，有摩擦时速率应更小。圆弧半径$r$只影响B之后的运动，不应出现在本题结果中。

这一计算的研究对象是运动员，功的起终点是A与B。重力功只取决于两点高度差，而摩擦功取决于实际滑过的长度，所以同一个h在两项中承担不同作用。把两个力的功相加时，摩擦大小先取正数，再由它与位移相反赋予负号，能避免把负号在摩擦力和功中重复使用。倾角若为四十五度，余切恰为一，结果中的损失比例才简化成动摩擦因数；这只是特殊角度，不能代替一般推导。