EJU 2006 年第 1 回 物理 第 2 题

AB段的动能定理给出$v_B^2=2gh(1-\mu^{\prime}\cot\theta)$。BC没有摩擦，需要再加上这一段重力做的功。以O为参照，B在O下方的竖直距离为$r\cos\theta$，C在O下方的距离为$r$，所以B到C的落差是$r(1-\cos\theta)$。

因此$v_C^2=v_B^2+2gr(1-\cos\theta)=2g[h(1-\mu^{\prime}\cot\theta)+r(1-\cos\theta)]$。C是圆弧最低点，切线水平，重力在切向没有分量；重力与支持力的合力沿半径向上，大小为$F_{\rm net}=mv_C^2/r$。

代入后，$F_{\rm net}=2mg[\frac hr(1-\mu^{\prime}\cot\theta)+(1-\cos\theta)]$。题目明确问合力，不是支持力。若要求支持力，才由$N-mg=mv_C^2/r$得到$N=mg+F_{\rm net}$。括号中的两项都无量纲，因此最终具有力的量纲。

上述两段能量的相加不会重复计入同一高度：h只覆盖A到B，圆弧落差只覆盖B到C，二者的和才是A到C的总落差。到C后求力则换用了局部动力学条件，只有此刻的速率与曲率半径进入。运动员沿圆弧通常一边下降一边加速，不能把整段说成匀速圆周运动；不过法向加速度始终可写为速率平方除曲率半径。本题在最低点没有切向合力，才使这一法向分量同时成为合力的全部大小。