EJU 2006 年第 1 回 物理 第 3 题

取自然长位置为$x=0$，向下为正。重力与弹力使小球满足$m\ddot x=mg-kx$，平衡位置在$x_0=mg/k$。从$x=0$静止释放意味着振幅等于$x_0$，因此$x(t)=x_0(1-\cos\omega t)$，其中$\omega=2\pi/T$。

题目把自然长位置设为重力势能零点，所以向下移动$x$时，$U_g=-mgx$，而非$+mgx$。代入位移，$U_g(t)=-\frac{m^2g^2}{k}(1-\cos\omega t)$。由于$1-\cos\omega t$介于0和2之间，重力势能始终非正。

释放时$U_g=0$；在$T/2$小球下降到最低点，势能最小；到$T$回到自然长位置，势能又为0。每个振动周期只经历一次这样的负谷。必须同时满足零点、正负范围、周期三项，不能仅凭曲线初始向下就判断。

这里的x是相对自然长位置的向下位移，不是相对平衡位置的振动位移。后者应写作x减去平衡伸长，它的正负随运动交替；前者却在整个运动中非负。重力势能采用的是前者乘负的mg，因此其图线带有向下的整体偏移。初始静止还意味着曲线在释放时从零平缓转向负值，并不是以非零斜率穿过横轴。时间到一个周期时，同样是在最上端速度为零，势能图接触横轴后再返回负侧。