EJU 2006 年第 1 回 物理 第 4 题

仍取自然长位置为$x=0$、向下为正，平衡伸长$x_0=mg/k$。初始静止释放给出$x=x_0(1-\cos\omega t)$，对时间求导得到$v=x_0\omega\sin\omega t$，其中$\omega=2\pi/T$且$\omega^2=k/m$。

于是$K=\frac12mv^2=\frac{m^2g^2}{2k}\sin^2\omega t$。动能只含速度平方，所以无论小球向下还是向上都不为负。它在$0,T/2,T$为0，这三个时刻分别对应上端点、下端点、再回上端点。

在$T/4$和$3T/4$，小球经过平衡位置，速率最大，动能出现两个相等的正峰。因此一个振动周期T中有两次动能峰值，动能自身的周期为$T/2$。不要把“一个振动周期”误认为“所有物理量都每T才重复”；速度反号但平方相同，正是周期减半的原因。

动能的最大值发生在平衡位置，而不是在最低处。因为在到达平衡位置之前净力向下、下行速度增加，越过平衡位置后净力转向上、下行速度减小，正好在平衡位置出现速率极大。上行过程的方向相反，却有同样的速率变化与同样的动能峰。因此判断能量图最好把两个端点和两次经过平衡位置分别标出来，再将时间对上，不必依赖“能量图通常像什么”的记忆。