EJU 2006 年第 1 回 物理 第 5 题

先处理下降段。光滑轨道的支持力不做功，从高度h静止出发的m球到最低点时满足$mgh=\frac12mu^2$，故碰前速率$u=\sqrt{2gh}$。

再处理很短的碰撞过程。取m球碰前运动方向为正，令其碰后速度为v、目标球A碰后速度为V。底部切线水平，列水平动量守恒$mu=mv+MV$；弹性碰撞还满足$mu^2=mv^2+MV^2$。将动能式整理为$m(u-v)(u+v)=MV^2$，再用$m(u-v)=MV$约去非零碰撞因子，得到$u+v=V$。

与动量式联立，$V=\frac{2m}{m+M}u=\frac{2m}{m+M}\sqrt{2gh}$。目标球向右运动，此V为正，其大小就是所求速率。质量相等时V=u，符合等质量弹性碰撞交换速度；若目标球很重，V应趋近0，也与结果一致。

联立方程时没有使用整个下滑过程的动量守恒，因为重力和轨道支持力一直在改变球的运动方向。碰撞瞬间在最低处，速度沿同一水平切线，才可以按一维弹性碰撞处理。将动能式中的二分之一两侧约去后，仍应记得碰前速率是由含二分之一的动能表达式得到，这正是根号内出现2的来源。最终V为正，而原球的v可能为负，两者不能用一个无方向的速率符号替代。