EJU 2006 年第 1 回 物理 第 6 题

质量m的小球碰前速率为$u=\sqrt{2gh}$，弹性碰撞后目标球A的速率为$V=2mu/(m+M)$。A随后沿光滑轨道上升，支持力不做功，直到最高点速率变为0，所以$\frac12MV^2=MgH$。

约去M并代入V，得到$H=\frac{V^2}{2g}=\frac{4m^2}{(m+M)^2}h=\frac{4h}{(1+M/m)^2}$。由于M是正质量，$1+M/m>1$，于是H严格小于4h；对任何有限的正M，分母有限且分子为正，H也严格大于0。

当$M\to0^+$时H趋近4h，当$M\to\infty$时H趋近0，这两个极限不对应实际取到的正有限质量，因此范围是开区间$0<H<4h$。M=m时H=h可作中间值检查，但不能把等质量情形当成所有质量比的结论。

范围问题必须说明区间内是否都能实现，而不只是验证结果永远不越界。本式随正质量M连续变化，且M增大时分母增大、高度减小，所以会经过两个极限之间的每一个高度，没有中间空缺。上界四倍h不是说真实质量为零的球能到那里，而是正质量可以任意小，使高度任意接近该上界。零高度同理只能作为无限大质量的极限。这正是选项采用严格不等号的物理和数学依据。