EJU 2006 年第 1 回 物理 第 7 题

重力随到地心距离变化，不能在高达地球半径数倍的路程中继续使用恒定g。设万有引力常数为G，以无穷远为势能零点，则小球在距地心r处的势能为$U=-GMm/r$。

初始位置距地心R；最高点高出地表4R，因此距地心为5R。题目说“恰好到达”，意味着最高点瞬时速率为0。机械能守恒给出$\frac12mv_0^2-\frac{GMm}{R}=-\frac{GMm}{5R}$，整理得$v_0^2=\frac85GM/R$。再用地表关系$g=GM/R^2$，得到$v_0=\sqrt{8gR/5}$。

这里的m约掉，表示在忽略阻力的模型中不同质量小球所需速率相同。最高点的速度为0不代表引力为0；引力仍指向地心，使小球随后下落。所得速率应小于逃逸速度$\sqrt{2gR}$，因为目标只是有限距离，这也是结果的合理性检查。

计算中出现的g专指地表重力加速度，它用于把GM改写为选项给出的量，不代表全程都以同一g加速。小球上升过程中重力逐渐减小，故精确所需速度小于将地表g错误保持到最高点所得的匀加速结果。这里忽略地球因小球发射产生的反冲，把地球视为固定的球对称引力源，这是基础万有引力题的理想模型；并没有借由质量约去而取消引力作用。