万有引力与天体运动

万有引力

I 力学／万有引力

一句话结论

两质点间的万有引力与质量乘积成正比、与距离平方成反比；圆轨道中令引力提供向心合力，即可连接半径、速度、周期与轨道能量。

行星、卫星与地面物体之间的引力遵循同一条反平方规律。对圆轨道而言，万有引力恰好是指向圆心的真实合力，因而可以从圆周运动关系直接推出轨道速度和周期。

为什么是这样

距离增大时，同一中心物体的引力作用分散到更大的球面上，因此与距离平方成反比。引力方向始终沿两物体连线，对圆轨道正好指向轨道中心。

卫星没有“脱离重力”，而是在重力作用下持续自由落体，同时水平速度让它不断错过地面。把引力与向心所需的合力相等，就得到圆轨道的主要关系。

F=GMm⁄r² 里的 r 是两球心之间的距离，不是卫星距地面的高度。近地轨道必须写成 r = R_地球 + h，忘加地球半径会错得非常远（地球半径 6400 km 远大于多数轨道高度）。

把引力等于向心力：GMm/r² = mv²/r，两边约掉 m 与一个 r，得到 v=√GM⁄r。卫星自身质量消失了——这就是为什么所有卫星在同一轨道上速度相同。r 在分母，所以 r 越大 v 越小。

开普勒第三定律 T²=4π²r³⁄(GM)，即 T² ∝ r³，是同一件事的另一种写法。比较两颗卫星时用比例形式最快，不必代入 G 和 M。

v = \sqrt G M r

适用条件

比较两颗卫星时用比例式，不要代具体数值。以例题为例：一颗卫星的轨道半径是另一颗的 4 倍，问周期比与速率比。

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