EJU 2006 年第 2 回 物理 第 2 题

把速度分成水平和竖直两份：发射时 $v_x=v\cos\theta$、$v_y=v\sin\theta$。墙是竖直且光滑的，碰墙时只有水平速度反向，竖直速度不变；地面是水平且恢复系数为1，碰地时竖直速度只反向、大小不变。因此整个过程的竖直机械能保持。

以地面为重力势能零点，发射时的竖直能量为 $mgh+\frac12m v^2\sin^2\theta$。最高点竖直速度为零，于是

约去质量和 $g$，得到 $H=h+v^2\sin^2\theta/(2g)$。

这里的 $H$ 是最高点距地面的高度，而 $v^2\sin^2\theta/(2g)$ 仅是从 P 再向上增加的高度，两者相差初始高度 $h$。水平速度在最高点仍可不为零，所以不能把球的全部动能都改写成重力势能。

完全弹性碰地会恢复原有的竖直能量上限，并不会让下一次最高点额外升高。墙的位置 $\ell$ 决定何时反向，但不改变上述高度上限。

用速度方程作交叉核对也很直接：从发射到首次竖直速度归零，所需时间为 $v\sin\theta/g$，这段竖直位移为 $v\sin\theta\,t-gt^2/2$，代入后正好等于 $v^2\sin^2\theta/(2g)$。若期间撞了竖直墙，这条竖直方程仍连续适用，因为墙没有竖直冲量。若是在碰地后上升到最高点，则以反弹后的竖直速率重新计算，也会达到相同的能量上限。