EJU 2006 年第 2 回 物理 第 4 题

球形天体对表面物体的万有引力为 $GMm/R^2$，同时等于物体的重力 $mg$。约去试探物体质量 m，得到 $g=GM/R^2$。为了比较天体质量，先改写为 $M=gR^2/G$，再取月地之比。

万有引力常量 G 对两天体相同，所以

题目给的“约为”会保留到结果中，故质量约为地球的九十六分之一。

表面重力弱并不只意味着天体质量小；半径也参与决定表面到中心的距离。月球半径更小，本来会使同等质量产生更大的表面引力。因此要获得仅为地球六分之一的表面重力，月球质量必须比六分之一更小。本结果的大小方向符合这一判断。

不需要知道地球或月球的实际质量，也不需要代入 G 的数值；使用比例能够避免无关单位与大数运算。

两边的g都是各自天体表面附近的重力加速度，因而引力公式中的距离应分别取月球半径与地球半径，而不是两天体之间的距离。通用引力常数G在比值中消掉，无须知道其数值；题目也没有要求用地球的实际质量或实际半径。只使用题给的两个比例即可完成估算，避免引入不必要且精度不一致的外部数值。