EJU 2006 年第 2 回 物理 第 5 题

设重物质量为 m、弹簧劲度系数为 k，以相对电梯的向下伸长 x 为坐标。电梯静止时，运动方程为 $m\ddot x=mg-kx$；平衡伸长 $x_0=mg/k$，绕此位置振动的周期为 $2\pi\sqrt{m/k}$。

电梯向上以恒定加速度 a 运动时，在电梯系需加入向下惯性力 ma。因此

新的平衡伸长为 $x_{\mathrm e}=m(g+a)/k$，比原来多 $ma/k$，即振动中心相对天花板向下移动。

令 $\xi=x-x_{\mathrm e}$，方程变成 $m\ddot\xi=-k\xi$。频率仍为 $\sqrt{k/m}$，周期仍为 $2\pi\sqrt{m/k}$。所以周期不变，中心改变。

题目比较的是持续匀加速阶段，不是刚开始加速的短暂切换细节。加速开始时的相位可能影响新振幅，但不会改变上述频率。判断周期时要看偏离新平衡点后的回复力，而不是只凭“看起来更重”作类比。

若暂时不用非惯性力，也可在地面惯性系中检查相对平衡：重物若相对电梯静止，便要有向上加速度a，张力必须满足 $kx-mg=ma$，同样得 $x=m(g+a)/k$。此后重物相对这个位置多向下偏移一小段，弹簧拉力额外增大 $k\xi$，所以相对加速度只多出 $-k\xi/m$。两种参考系得到同一中心和周期，符号也相互核验。