EJU 2006 年第 2 回 物理 第 6 题

飞机在水平面作匀速圆周运动，竖直加速度为零，水平方向则有指向圆心的加速度。按题图的圆锥摆受力模型，绳张力 T 沿绳指向悬点，重力 mg 向下。

夹角从竖直方向量起，所以竖直分量是 $T\cos\theta$，水平分量是 $T\sin\theta$。由竖直平衡得 $T\cos\theta=mg$。圆周半径为绳长的水平投影 $r=\ell\sin\theta$，向心方程为

两式相除，消去张力和质量：

因此 $v=\sqrt{g\ell\sin\theta\tan\theta}$。

整根张力不能直接当向心力，因为它同时负责平衡竖直重力。绳长也不是飞机到圆心的距离，圆心在悬点正下方、与飞机同高。把两个投影都处理正确，结果中的 $\sin\theta$ 和 $\tan\theta$ 就各有明确来源。

向心力并不是在重力和张力之外再添的一种力，而是指现有合力沿圆心方向的分量。本题重力与张力竖直分量抵消后，剩下的水平张力才是向心合力。飞机速率保持不变仅表示切向加速度为零，不能因此令水平合力也为零；速度方向在圆周上连续改变，正需要大小为 $v^2/r$ 的向心加速度。明确这层关系后，两条方程就各有对应的运动事实。