EJU 2009 年第 2 回 物理 第 1 题

选择棒的接地端为取矩点，可把地面作用力的力矩直接消去。设棒与水平夹角为 $\alpha$，竖直张力的力臂是悬线端到支点的水平距离 $3\ell\cos\alpha$；竖直重力的力臂是重心到支点的水平距离 $\ell\cos\alpha$。

两力造成相反方向转动，静止时满足 $T(3\ell\cos\alpha)=Mg(\ell\cos\alpha)$。约去共同几何因子，得到 $T=Mg/3$。重心并不位于棒的中点，不能套两端各承担一半重量的均匀棒结论。

再用竖直力平衡核验：地面支持力 $N=Mg-T=2Mg/3$，为正，符合接触条件。题目没有给抬起高度也不妨碍求解，因为两个竖直力的力臂具有相同投影因子，倾角自动消掉。力臂是支点到作用线的垂直距离，而不是沿棒长度本身；本题沿棒距离比恰好与力臂比相同，原因应在列式中说明。

只列竖直平衡只能得到N+T=Mg，未知支持力与张力有两个，不能唯一解出T；力矩平衡提供第二个独立约束。选支点并非假定棒可以在那里自由转动，而是利用静止物体对任意点合力矩都为0。图中给出的重心使远端张力较小，这也是结果小于Mg/2的原因。