EJU 2009 年第 2 回 物理 第 2 题

无摩擦且不离轨时，支持力不做功，下降高度 $H$ 后的速度为 $v=\sqrt{2gH}$。所以三轨到达Q的末速度相同，但到Q的时间由沿途速度决定，不能仅看末速度。

(c)先较陡地下降全部高度，较早获得接近末速度 $2\sqrt{g\ell}$，随后在低处以该速度通过长水平段。(b)虽然也先下坡，但其长水平段只下降了ℓ，速度为 $\sqrt{2g\ell}$，比(c)小，最后才再次加速。(a)则在整个过程中逐步加速，前段保持较小速度。

按图示主要直线段的理想化几何比较，(a)用时为 $\sqrt{29}\sqrt{\ell/g}$，(b)约为 $(7\sqrt2/2)\sqrt{\ell/g}$，(c)约为 $(2\sqrt2+3/2)\sqrt{\ell/g}$，分别约5.39、4.95、4.33个共同时间单位，结论为(c)最短。图中转接弯曲为示意，具体数值只作几何模型核验；核心是先降到低处使较长后段以更大速度行进。

这里比较时间时要同时考虑路程和速度，不能把“早下降”当成对任意轨道都成立的单独定理。对于题图给定的三种形状，前段坡度与后段长度配合，使(c)提前加速的收益超过路径差异。能量式只决定某个高度的速度，而从该速度得到时间仍需知道走过的段长；这正是题图尺寸和形状在判断中不可省略的作用。