EJU 2025 年第 1 回 物理 第 2 题

在水平面上，重力和支持力都与位移垂直，不做功；摩擦力与运动方向相反，做功为 $-FL$。由动能定理，$-FL=\frac12m(kV)^2-\frac12mV^2$。

平方时必须把 $k$ 也平方，即 $(kV)^2=k^2V^2$。整理得 $FL=\frac12mV^2(1-k^2)$，所以 $F=\dfrac{(1-k^2)mV^2}{2L}$。由于 $0<k<1$，括号为正，求出的力的大小也为正。

结果的量纲为动能除以长度，即 $\mathrm{J/m=N}$。当 $k\to1$ 时，物体几乎没有减速，所需摩擦力趋于0；当 $k\to0$ 时，物体刚好在距离 $L$ 内停下，公式变为 $mV^2/(2L)$。这两种极限都符合运动情况。题给的是距离而不是时间，动能定理能直接连接已知量。

取初动能为1个单位，末动能就为 $k^2$ 个单位，真正被摩擦消耗的是 $1-k^2$。这与把动量差 $mV(1-k)$ 除以距离不同：动量差需要除以时间才与平均力有关，能量差除以距离才与恒力有关。若题目改变为已知减速时间，动量法可以更直接；当前给的是路程，功与动能是最匹配的一对量。所求 $F$ 是大小，所以最后不能保留代表摩擦方向的负号。

这个关系只计算所给两位置之间的能量变化，不需要知道物体最初怎样获得速度，也不需要知道它后来何时停下。题目区间内速率保持为正，摩擦方向始终与位移相反。