EJU 2025 年第 1 回 物理 第 3 题

竖直墙没有摩擦，碰撞时墙的冲量只有水平方向，因此竖直速度不因碰撞改变。小球从 A 到 C 的竖直运动始终可以视为初速度为0的自由落体，总时间 $t=\sqrt{2h/g}$。

水平方向分成两段。到墙前速率为 $v$，去程时间 $t_1=L/v$。墙固定，恢复系数定义给出反弹后的水平速率为 $ev$，方向指向建筑物；回程水平距离仍是 $L$，因此 $t_2=L/(ev)$。

要求落在 A 正下方，就要使水平往返所需时间等于竖直落地时间：$\dfrac{L}{v}+\dfrac{L}{ev}=\sqrt{\dfrac{2h}{g}}$。解得 $v=(1+1/e)L\sqrt{g/(2h)}$。

根号 $\sqrt{g/h}$ 的单位为时间的倒数，乘 $L$ 后为速度。恢复系数越小，回程越慢；在固定下落时间内完成往返就需要更大的初速度，公式中的 $1/e$ 正好体现这一点。

恢复系数针对碰撞面的法向相对速度定义。固定竖直墙的法向是水平，所以本题变为 $|v_{x,\rm after}|=e|v_{x,\rm before}|$；并非把小球总速率乘 $e$。碰撞时小球已经具有向下速度，这部分不被无摩擦墙改变。把“水平方向分段、竖直方向连续”的模型写清，才能使用同一总落地时间。碰撞过程按题目理想化视为瞬时，不另增加一个不可知的撞墙时间。