EJU 2025 年第 1 回 物理 第 4 题

以最低点为重力势能零点，释放时总机械能为 $mgh$。细线张力始终沿半径方向，与瞬时速度垂直，不做功。到绕钉小圆最高点时，高度为 $2r$，所以 $\frac12mv_{\rm top}^2+2mgr=mgh$，即 $v_{\rm top}^2=2g(h-2r)$。

小球能到达这一高度还不够，必须让细线保持拉紧。在最高点，向心方向竖直向下，重力和张力都指向圆心：$mg+T=mv_{\rm top}^2/r$。细线只能拉，要求 $T\ge0$，所以 $v_{\rm top}^2\ge gr$。

代入能量关系，$2g(h-2r)\ge gr$，得到 $r\le2h/5$。等号对应最高点张力恰好为0的临界状态，故 $r_0=2h/5$。若仅用 $h\ge2r$，会漏掉顶点仍需保留动能的条件。质量与重力加速度都约去，临界半径只由释放高度决定。

小球第一次到最低点的速度平方为 $2gh$，细线绕过细钉改变圆心，但理想固定钉不额外做功，转入小圆瞬间速度大小连续。此后升至顶点时，重力势能增加 $2mgr$，余下动能必须至少为 $mgr/2$；两项合计需要 $5mgr/2$，与初始 $mgh$ 比较也得到同一界限。长度 $L$ 只保证原摆的几何构型与 $h<L$，在转入小圆后的临界能量条件中无需单独出现。

临界值是允许半径的上界，题目给“大于便不能”与不等式方向一致。