排列

为什么是这样

从 $n$ 个不同的东西里取 $r$ 个排成一列，就是从左到右填 $r$ 个空位：第 1 位 $n$ 种，第 2 位剩 $n-1$ 种……第 $r$ 位剩 $n-r+1$ 种。按积的法则连乘，就是从 $n$ 开始、每次减 1、共 $r$ 个数的积。$r=n$ 时全部排完，得到 $n!$（$n$ 的阶乘，階乗）。

有条件时先填限制最多的位置。组成整数时最高位不能是 0；偶数看个位；5 的倍数看个位是不是 0 或 5；4 的倍数看末两位；3 的倍数、9 的倍数看各位数字之和。要相邻的几个人，先捆成一块当一个人排，再乘块内的顺序；要互不相邻的人，先把其他人排好，再把他们放进其他人之间和两端的空隙，每个空隙最多一人。

围成一圈（円順列）时，整圈转一格，每个人左右的邻居都不变，算同一种。$n$ 人排成一列的 $n!$ 种里，每 $n$ 种只是同一圈转了不同角度，所以圆排列是 $\dfrac{n!}{n}=(n-1)!$。更好用的想法是先让一个人坐下当基准，其余 $n-1$ 人相对他排成一列。项链、手链还能翻过来，翻面后一致的也算同一种（じゅず順列），再除以 2。

定量表达

排列数记作 ${}_n\mathrm{P}_r$，连乘的结果可以写成阶乘的比 $\dfrac{n!}{(n-r)!}$。约定 $0!=1$、${}_n\mathrm{P}_0=1$，让 $r=n$ 和 $r=0$ 时公式也成立。$5!=120$、$6!=720$、$7!=5040$ 常用，记住能省时间。

允许重复取（重複順列）时，每个位置都有 $n$ 种，$r$ 个位置共 $n^r$ 种，$r$ 可以比 $n$ 大。分清底数和指数：做选择的对象有几个是指数，每个对象从几种里选是底数。6 个不同的球各放进 A、B 两个箱子之一，是 $2^6=64$ 种；要求两个箱子都不空，再减去全进 A、全进 B 的 2 种，得 62 种。$n$ 个元素的集合，每个元素选「在」或「不在」，所以子集有 $2^n$ 个。