事件与概率的基本性质

確率の基本性質

5 場合の数と確率／確率とその基本的な性質

一句话结论

概率 = 事件所含的基本事件数 ÷ 全部基本事件数，前提是每个基本事件一样可能，所以相同的东西也要编号区分。互斥的事件概率直接相加，有重叠就减去 $P(A\cap B)$ ；「至少一个」用 $1-P(\overline{A})$ 。

掷两枚硬币，结果按样子看只有「两正、一正一反、两反」三种，那「一正一反」的概率是 $\dfrac13$ 吗？不是，是 $\dfrac12$ 。概率不能拿「结果有几种样子」去除，只能拿一样可能的结果去除。这一节先把这一点说清，再讲概率什么时候能相加、怎样从反面算。EJU 的概率题，大半靠这几条加上前面的排列组合。

为什么是这样

在同样条件下可以反复做、结果靠偶然决定的行为叫试行（試行），由结果构成的事情叫事件（事象）。全部可能结果组成全事件 $U$ ，一个结果也不含的是空事件 $\varnothing$ ，只含一个结果的是基本事件（根元事象）。每个基本事件发生的可能都一样（同様に確からしい）时，事件 $A$ 的概率就是 $A$ 所含的基本事件数除以全部基本事件数。

关键在「一样可能」。两枚硬币即使长得一样，也可以想象一枚点了红点：结果是正正、正反、反正、反反四种，各占四分之一，「一正一反」占了其中两种，概率是 $\dfrac12$ 。只按样子分成三种，这三种并不一样可能。所以看起来相同的硬币、骰子、同色的球，计算时一律编号当成不同的。

概率和集合的元素个数一一对应，把个数的性质除以 $n(U)$ 就得到概率的性质： $0\le P(A)\le1$ ， $P(U)=1$ ， $P(\varnothing)=0$ 。 $A$ 、 $B$ 同时发生是积事件 $A\cap B$ ，至少一个发生是和事件 $A\cup B$ 。 $A\cap B=\varnothing$ ，即两者不可能同时发生时，称 $A$ 、 $B$ 互斥（互いに排反）。

定量表达

定义是 $P(A)=\dfrac{n(A)}{n(U)}$ 。分子和分母必须用同一种数法：从 9 个球里同时取 3 个，分母用 ${}_9\mathrm{C}_3$ ，分子也按组合数；改成按取出的顺序数，分母是 ${}_9\mathrm{P}_3$ ，分子也要按顺序数。两种数法分子分母同乘了 $3!$ ，结果相同，挑好数的那种。

加法定理： $A$ 、 $B$ 互斥时 $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$ ，三个以上两两互斥也一直加下去。不互斥时，两者重叠的部分被加了两次，一般式是 $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ 。

$A$ 不发生的事件叫 $A$ 的余事件（余事象），记作 $\overline{A}$ 。 $A$ 与 $\overline{A}$ 互斥，合起来正好是 $U$ ，所以 $P(\overline{A})=1-P(A)$ 。

P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)

$A\cup B$: 和事件： $A$ 、 $B$ 至少有一个发生
$A\cap B$: 积事件： $A$ 、 $B$ 同时发生
$P(A),\ P(B)$: $A$ 、 $B$ 各自的概率

适用条件

$A$ 、 $B$ 互斥（ $A\cap B=\varnothing$ ）时最后一项为 $0$ ： $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$ （加法定理）
三个以上两两互斥的事件，概率可以一直加下去

怎么用

做概率题分三步：① 定下一样可能的基本事件，相同的东西编号区分，数出全体 $N$ ；② 数出事件含的个数 $a$ ，必要时分成互斥的几类相加；③ 求 $\dfrac{a}{N}$ 并约分。拿不准时问自己：分母里的每一种，是不是一样可能？

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