二次不等式

为什么是这样

把左边看成函数 $y=ax^2+bx+c$，$>0$ 就是图像在 $x$ 轴上方，$<0$ 就是在下方。上下的分界处函数值为 $0$，所以第一步总是解方程 $ax^2+bx+c=0$，找出图像与 $x$ 轴的交点。设 $a>0$，两个交点 $\alpha<\beta$：开口向上的抛物线只有两交点之间那一段沉到 $x$ 轴下面，于是 $>0$ 的解是 $x<\alpha$ 或 $\beta<x$，$<0$ 的解是 $\alpha<x<\beta$。

用符号也看得出来：$x$ 在两个解的外侧时，$x-\alpha$ 与 $x-\beta$ 同号，积为正；夹在中间时异号，积为负。

$D\le0$ 时不能套「外侧、之间」。$D=0$ 时抛物线只在 $x=\alpha$ 碰到 $x$ 轴：$>0$ 的解是 $\alpha$ 以外的全体实数，$\ge0$ 是全体实数，$<0$ 无解，$\le0$ 只有 $x=\alpha$。$D<0$ 时整条抛物线悬在 $x$ 轴上方：$>0$、$\ge0$ 都是全体实数，$<0$、$\le0$ 都无解。方程没有实数解，不等式却可能对所有 $x$ 都成立。

$a<0$ 时开口向下，上面的结论全部翻转。省事的办法是两边同乘 $-1$，不等号随之反向，始终只用开口向上这一套。

定量表达

解法三步：① 移项使右边为 $0$，$x^2$ 的系数化成正数；② 解 $ax^2+bx+c=0$，能因式分解就分解，不能就用求根公式，例如 $3x^2-2x-2\le0$ 的两个解是 $\dfrac{1\pm\sqrt7}{3}$，所以解为 $\dfrac{1-\sqrt7}{3}\le x\le\dfrac{1+\sqrt7}{3}$；③ 按图写解，带等号就把交点也算进去。

「对所有实数 $x$ 成立」就是整条抛物线在 $x$ 轴上方：开口向上且不碰 $x$ 轴，即下面公式块的条件；带等号（$\ge0$）时允许相切，$D<0$ 放宽为 $D\le0$。系数里有字母时，先看 $x^2$ 的系数会不会是 $0$，那时左边只剩一次式或常数，要单独判断。

只要求在区间上成立（如 $0\le x\le3$ 时 $f(x)>0$），就不能再用 $D<0$：抛物线可以和 $x$ 轴相交，只要交点在区间外。这时条件是「区间里的最小值 $>0$」，照「二次函数的最大与最小」的办法，按轴在区间左外、内、右外分情况求最小值。