解的分布

为什么是这样

先看一个事实：抛物线是一条连着的曲线。$f(p)$ 与 $f(q)$ 异号，即一端在 $x$ 轴上方、另一端在下方，从 $p$ 走到 $q$ 的途中一定穿过 $x$ 轴，$p<x<q$ 里就有方程的解。对二次方程还能说得更死：恰好一个，因为两个解都在里面或都在外面时，两端的符号相同。

设开口向上。$f(k)<0$ 表示 $k$ 处的图像在 $x$ 轴下方，而抛物线向左、向右都会升到 $x$ 轴上方，所以左右各有一个交点：$k$ 夹在两个解之间。两个不同交点是自动的，不必再写 $D>0$。

$f(k)>0$ 只说明 $k$ 不在两解之间：两个解可能都在 $k$ 右边，可能都在左边，也可能根本没有交点。要两个解都大于 $k$，还得补两条：$D\ge0$ 保证交点存在，轴 $>k$ 保证它们在 $k$ 的右边（两个交点关于轴对称，轴在哪边它们就在哪边）。图里 ① 和 ② 的 $D$、$f(k)$ 完全一样，只差在轴上。

两个解都在 $p<x<q$ 里，就是两端各用一次这个道理：$D\ge0$，$p<$ 轴 $<q$，$f(p)>0$，$f(q)>0$。

定量表达

把方程写成 $f(x)=0$，$x^2$ 的系数化成正数，再把题目的话逐句翻译。「两个不同的正的解」即两个解都大于 $0$：$D>0$、轴 $>0$、$f(0)>0$。「一个正、一个负」即 $0$ 夹在中间：只要 $f(0)<0$，也就是常数项为负。「一个解大于 $1$、另一个小于 $1$」：$f(1)<0$。

$x^2$ 的系数含参数、开口方向不定时，用乘积写法最省事：「$-1<x<0$ 与 $1<x<2$ 内各有一个解」写成 $f(-1)f(0)<0$ 且 $f(1)f(2)<0$，开口向上向下都成立，不必分情况。

另一类问「解有几个」。参数只在常数项时把它移到一边：方程 $g(x)=k$ 的实数解个数，就是图像 $y=g(x)$ 与水平线 $y=k$ 的交点个数（定数分離）。画好 $y=g(x)$，让水平线上下移动数交点。例如 $|x^2-4x+3|=k$：$k<0$ 时 $0$ 个，$k=0$ 时 $2$ 个，$0<k<1$ 时 $4$ 个，$k=1$ 时 $3$ 个，$k>1$ 时 $2$ 个。