EJU 2002 年第 1 回 物理 第 9 题

细线不可伸长，$M$ 下降 $\ell$ 时，另一侧 $m$ 必须上升同样距离，且两物体速率大小相同，记为 $v$。从静止释放意味着初动能为零。 质量 $M$ 的重力势能减少 $Mg\ell$，质量 $m$ 的重力势能增加 $mg\ell$。两者相减，整个系统可转化为动能的净势能减少量为 $(M-m)g\ell$。末态总动能为 $Mv^2/2+mv^2/2=(M+m)v^2/2$。 在本题理想绳轮模型下，写能量守恒 $(M-m)g\ell=(M+m)v^2/2$，解得 $v=\sqrt{2(M-m)g\ell/(M+m)}$。分子中的质量差反映驱动，分母中的质量和反映需要加速的总惯性。 当两质量接近相等时，净势能降低很少，速率应趋近零；当 $m$ 趋近零时，结果接近自由落体 $\sqrt{2g\ell}$。这两种极限同时帮助检查质量差与质量和有没有写反。

开方时取正根，因为速率是非负量。若另问带符号速度，应再按坐标方向赋号，不在能量方程的平方项里区分上行或下行。能量法本身给的是大小，运动方向来自质量关系与初始条件。 还应计入两个物体的动能，不能只因为目标问M就漏掉m；所求对象与能量系统可以不同，只需明确所列的是整体总能量。