EJU 2002 年第 2 回 物理 第 5 题

杆静止时竖直平衡给地板支持力$N=mg$，水平平衡给地板摩擦大小$f=N_w$。由地面端取矩，墙反力为$N_w=(mg/2)\cot\theta$，所以维持当前姿态所需的静摩擦为$f=(mg/2)\cot\theta$。

静摩擦按需要变化，通常只满足$f\le\mu_sN$。随着角度减小，余切增大，所需摩擦越来越大；到角度$\theta_0$恰好开始滑动，才有$f=\mu_sN$。

代入临界姿态，$(mg/2)\cot\theta_0=\mu_smg$，约去重量得$\mu_s=(1/2)\cot\theta_0$。静摩擦系数无量纲，结果只含角度，符合单位要求。

不能在任意静止角度都写摩擦等于最大值，那会错误地把一个可静止角度当作临界角。质量与长度约去，也符合相同材料、相同角度与几何比例下的临界条件。杆越靠近水平，需要的摩擦能力越强，故临界角越小对应摩擦系数越大。滑动后的动力学涉及动摩擦与角加速度，不属于本问临界前的平衡计算。