EJU 2003 年第 1 回 物理 第 3 题

本空问的是题干末尾的雨滴速率，所处状态已经不是最初假设的自由落体，而是重力与空气阻力平衡的终端状态。雨滴向下运动，重力大小为$mg$，阻力大小为$\chi v$且方向向上。

两力平衡要求$mg=\chi v$。由于$\chi>0$，可直接除以阻力系数，得到$v_{\mathrm t}=mg/\chi$。这个结果不含下落时间，也不含云的高度；在终端近似中，速率由重力大小和阻力系数共同决定。

量纲可以再作检验。由阻力等于系数乘速度，$[\chi]=\mathrm{N}/(\mathrm{m/s})=\mathrm{kg/s}$，因此$mg/\chi$的单位为m/s。仅有$mg$是力，$\tfrac12gt^2$是长度，不能填入速率空格；$gt$虽有速度量纲，却属于无阻力的加速过程。

物理趋势也合理：质量相同而阻力系数增大，需要更小速度就能使阻力平衡重力，因此终端速率降低；阻力系数固定而质量增大，平衡需要更大速率。这里比较的是模型参数独立改变的结果，并不意味着真实不同大小雨滴的阻力系数必然相同。

本题没有给出时间，所以含时间的候选本来也不能从现有数据确定数值；平衡速率则不需要时间。参数依赖与题目条件应相互对应。