EJU 2003 年第 1 回 物理 第 5 题

两球通过轻线连接并保持静止，求B的密度可以把A、B和细线作为一个整体。细线对两球的拉力大小相等、方向相反，是这个系统的内力，不进入整体平衡方程。

A排开上层液体体积$V$，受到浮力$d_1Vg$；B排开下层液体体积$V$，受到浮力$d_2Vg$。两球总重力则为$(\rho_{\mathrm A}+\rho_{\mathrm B})Vg$。整体静止要求$(d_1+d_2)Vg=(\rho_{\mathrm A}+\rho_{\mathrm B})Vg$。约去共同的$Vg$，得到$\rho_{\mathrm B}=d_2+d_1-\rho_{\mathrm A}$。

也可以隔离B验证。B的浮力与张力都向上，重力向下，因此$\rho_{\mathrm B}Vg=d_2Vg+T$。上球平衡给$T=(d_1-\rho_{\mathrm A})Vg$，代入后正好得到同一密度关系。

由于$d_1-\rho_{\mathrm A}>0$，结果满足$\rho_{\mathrm B}>d_2$，符合B本来有下沉趋势的设定。A多出的浮力通过细线向上拉B，正好补足B浮力不足以支撑自身重力的部分。两球等体积使体积约去，是答案能只由密度表示的原因。

图中线保持绷紧，要求两球的相反浮沉趋势恰好匹配。若密度关系不满足上述等式，即使仍符合大小次序，也不能保持图示静止。大小次序决定趋势，平衡等式决定数值配合，两者作用不同。

同样的密度次序本身不能代替平衡等式。