EJU 2003 年第 1 回 物理 第 6 题

球从A由静止释放，到P时弹簧恢复自然长度。A与P的沿斜面距离是$a$，竖直高度差为$a\sin\theta$，并不是图中P到地面的高度$h$。光滑支持力不做功，又忽略空气阻力，球与弹簧的机械能可以守恒。

以A处重力势能为零，初态只有弹性势能$\tfrac12ka^2$；到P时弹簧势能为零，球具有动能$\tfrac12mv_P^2$和新增重力势能$mga\sin\theta$。因此$\tfrac12ka^2=\tfrac12mv_P^2+mga\sin\theta$，解得$v_P=\sqrt{(k/m)a^2-2ga\sin\theta}$。

结果中的重力项为负，因为球爬坡需要增加重力势能，减少可用于发射的动能。若忽略这项，便相当于把发射器错误地放在水平面上；若写成正项，便把上坡当成了下坡。

原题既问从P发射的速率，便取确能到达P并以正速度离开的情形，需要$ka^2>2mga\sin\theta$。等号对应恰好到达P时速度为零，不能形成正常向外发射；根号内负值则表示给定初始能量不足，不能把负数机械地开方成物理速度。

运动学中的发射角不必先求，因为能量只需要起终点的高度差和弹簧形变量。支持力可以改变运动方向，但在光滑约束下不传递功，这也是不必计算其大小的原因。