EJU 2003 年第 1 回 物理 第 7 题

所求是Q处着地前的速率，可以将A到P的弹簧发射和P到Q的空中飞行合成一个过程。虽然运动形式改变，若忽略摩擦和空气阻力，弹簧力与重力均为保守力，整体机械能仍守恒。

P离地高度为$h$，A比P低$a\sin\theta$，故A的初始高度是$h-a\sin\theta$。以地面为重力势能零点，初态总机械能为$\tfrac12ka^2+mg(h-a\sin\theta)$，末态Q着地前弹簧已不作用，重力势能为零，只剩动能$\tfrac12mv_Q^2$。

由此$v_Q^2=(k/m)a^2+2g(h-a\sin\theta)$，速率取正平方根。这里重力项为加号，因为从起点A到地面总体下降，重力势能减少并转为动能。

若分段检查，A到P给$v_P^2=(k/m)a^2-2ga\sin\theta$，P到Q再给$v_Q^2=v_P^2+2gh$，两式合并正好一致。无需知道飞行时间或Q的水平位置。注意公式只到球碰地之前，接触地面后的反弹或能量损失没有给出，不能据此求碰撞后的速度。

题中的水平面也是势能参考面，选择它只为简化末态表达式。即使换其他零点，两端重力势能会同时增加同一常数，能量差和落地速率不变；关键是使用A到Q的真实高度差。