EJU 2003 年第 2 回 物理 第 1 题

动能中的速度必须相对于题目指定的观察者。球在车内以速率$v$向前投出，而车厢本身又相对地面以速率$V$向同一方向运动。地面观察者测得球刚投出时的速度为$u=V+v$，不是$v$，也不是$V-v$。

因此将地面速度整体代入动能定义：$K=\tfrac12mu^2=\tfrac12m(V+v)^2$。计算顺序应是先作速度变换，再取平方，而非先分别计算两份动能后相加。

展开可得$K=\tfrac12mV^2+mVv+\tfrac12mv^2$，其中交叉项说明动能不能像同方向位移那样简单叠加。两个平方项的和不是相同参考系里球的真实动能。

检验时令$V=0$，地面与车厢重合，应恢复$mv^2/2$；令$v=0$，球只随车运动，应恢复$mV^2/2$。这两个特殊值有助于检查，但仅靠它们还不能区分遗漏交叉项的式子，最终仍要用完整速度平方。题目只问刚投出瞬间，不需要分析后续重力造成的轨迹。

球的质量没有改变，参考系转换只改变速度的取值。地面与车内动能无需相等，题目也没有要求两系动能守恒。只要全过程坚持地面速度，便不会混用不同观察者给出的量。