EJU 2003 年第 2 回 物理 第 5 题

静摩擦为零时，物体只受重力与锥面的法向力。它仍保持在固定高度绕轴转动，因此竖直方向加速度为零，水平方向加速度为向内的$\omega^2R$，不能把整个物体视为合力为零。

法向力N垂直锥面，向内且向上。因为锥面母线与水平夹角为$\theta$，法向力的竖直分量为$N\cos\theta$，水平向内分量为$N\sin\theta$。故有$N\cos\theta=mg$，$N\sin\theta=m\omega^2R$。

将第二式除以第一式，N和m同时约去，得$\tan\theta=\omega^2R/g$，所以$R=(g/\omega^2)\tan\theta$。也可将带符号摩擦函数置零得到相同结果。

所得半径随角速度增大而减小，因为更快转动在较小半径也能提供同样的向心加速度。质量约去符合不同质量在同一几何约束下的相同无摩擦旋转条件。单位$g/\omega^2$为长度，正切无量纲。原卷一个干扰项的ω下标2记号未定义，作者保留该来源异常，不用猜改记号来推导答案。

半径通过向心加速度进入方程，锥面斜角通过法向力分解进入方程，两者来源不同。若把水平半径误换成沿面的距离，虽可算出一个有长度单位的式子，几何关系却已经被改写。