EJU 2003 年第 2 回 物理 第 6 题

本题的$\rho$有明确的特殊定义：单位体积的分子个数，称数密度，而不是通常按千克每立方米计的质量密度。对1 mol理想气体，状态方程为$pV=RT$；题给$\rho=N_{\mathrm A}/V$，所以$V=N_{\mathrm A}/\rho$。

代入状态方程，$p(N_{\mathrm A}/\rho)=RT$，整理得$p=\rho RT/N_{\mathrm A}$。除以阿伏伽德罗常数，是把分子个数换成摩尔数；若误乘，会把粒子计数重复扩大。

写成$R/N_{\mathrm A}=k_{\mathrm B}$，也就是熟悉的$p=\rho k_{\mathrm B}T$。每个分子的热运动能量尺度乘单位体积的分子数，形成压强尺度。因而固定温度时数密度越大压强越大，固定数密度时绝对温度越高压强越大。

量纲检验中，数密度乘玻尔兹曼常数和温度得到焦耳每立方米，与帕等价。温度必须为绝对温度，摄氏零点不能用来表示分子热运动能量为零。若改用质量密度，应另除平均分子质量或摩尔质量，不能不看符号定义直接沿用此式。

一摩尔条件只帮助把数密度写得简洁，不是说同体积只有一摩尔气体时状态方程才成立。换任意物质的量后，分子数与摩尔数的转换仍完全相同。