EJU 2003 年第 2 回 物理 第 7 题

把山脚与山顶都视为理想气体状态。按前面数密度定义，$p=\rho RT/N_{\mathrm A}$。山脚有$p_0=\rho_0RT_0/N_{\mathrm A}$，山顶有$p_1=\rho_1RT_1/N_{\mathrm A}$。两式相除，公共常数约去，得$p_1/p_0=(\rho_1/\rho_0)(T_1/T_0)$。

所以$p_1=p_0T_1\rho_1/(T_0\rho_0)$。温度必须是绝对温度；分子数密度与温度共同决定压强，不能仅比较其中一个量。

原问使用空气密度，若按通常质量密度理解，组成不变保证平均分子质量不变，质量密度与数密度之间的固定比例也会在相除时约去，最终关系相同。组成条件因此不能随意删掉。

检查时令两地温度与密度完全相同，应得到$p_1=p_0$；固定温度、提高密度，压强应增大；固定密度、提高温度，压强也应增大。这些趋势可排除倒置比值。已知两地状态数据足以求压强，不需要山高、重力气柱积分或额外的大气温度分布模型。

可以先建立无量纲倍率再乘已知山脚压强，这样每个符号的上下位置都有明确含义。单独记忆某个乘积次序容易看漏下标，逐一对应温度比与密度比则更稳妥。