EJU 2004 年第 1 回 物理 第 5 题

设两球质量均为$m$，碰后总动能记为$K_f$。总动量守恒给$v\prime+V=v$，所以$V=v-v\prime$。代入两个球动能之和：$K_f=\tfrac12m(v\prime)^2+\tfrac12m(v-v\prime)^2$。配方得到$K_f=m(v\prime-v/2)^2+mv^2/4$。碰前总动能$K_i=mv^2/2$固定，动能减少量$K_i-K_f$最大，等价于$K_f$最小。平方项不能为负，在$v\prime=v/2$时取零，此时B也以$v/2$运动，故这是所求速度。碰后仍剩下$mv^2/4$的整体运动能，不能令两球都停下来，因为那会丢失系统初动量。最大减少量也是$mv^2/4$，占初动能的一半。A停下虽然看似损失了自己的动能，但B将得到速度$v$，总动能没有减少；一定要比较两球系统，而非只看碰撞前运动的那一个球。

这一最低动能状态可以由完全非弹性碰撞实现，两球碰后一起运动或在碰撞结束时具有相同速度。题目只要求最大损失的速度条件，并不要求它们一定永久粘连。动能减少是宏观平动动能转成形变、热等内部能量，并非总能量不守恒。因为初总动量非零，系统始终必须保留一部分整体运动，所以最大损失不能等于全部初动能。