EJU 2004 年第 1 回 物理 第 6 题

设两球质量均为$m$，碰后A速度为$v\prime$，B为$V$，右向为正。碰前总动量为$mv$，碰后为$m v\prime+mV$，守恒后约去质量得到$v\prime+V=v$。恢复系数$e$定义为碰后分离相对速率与碰前接近相对速率之比。碰前A追上静止B，接近速率为$v$；碰后B在前、A在后，分离速率为$V-v\prime$，所以$V-v\prime=ev$。现在有速度和与速度差两式。将第一式减去第二式，得到$2v\prime=(1-e)v$，即$v\prime=(1-e)v/2$。B的速度则是$(1+e)v/2$，可一并核查总动量。恢复系数不是A自己的末初速度比；它比较的是两物体的相对速度。以两个边界检查：$e=0$给两球共同速度$v/2$，$e=1$给A停下、B以$v$运动，恰好符合等质量完全弹性碰撞的速度交换。

解这类问题时，两条关系的物理来源必须独立。动量守恒决定整体运动，恢复系数描述材料碰撞后保留多少相对运动。只写其中一条，两个未知速度就不能唯一确定；把恢复系数写成单球速度比则会丢失系统相对运动信息。两球等质量才允许在动量式中直接消去共同质量，若质量不同，速度和也不再简单等于初速度。