EJU 2004 年第 2 回 物理 第 18 题

电子的物质波满足德布罗意关系 $\lambda=h/p$，所以所需动量为 $p=h/\lambda$。电子初动能可以忽略，通过加速电压 $U$ 获得的动能为 $eU$。采用非相对论动能 $K=p^2/(2m)$，联立得 $U=h^2/(2me\lambda^2)$。

先换单位：$0.2\,\mathrm{nm}=2.0\times10^{-10}\,\mathrm m$。代入给定常数，$U=(6.6\times10^{-34})^2/[2\times9.1\times10^{-31}\times1.6\times10^{-19}\times(2.0\times10^{-10})^2]\approx37.4\,\mathrm V$，最接近 $3.8\times10^1\,\mathrm V$。

这里用的是电子电荷量的大小。电子实际带负电，但题目求加速电压大小，能量增加仍为 $eU$。波长平方出现在分母，要求更短波长时就需要更高的加速电压。

不要使用光子的 $E=hc/\lambda$ 来计算电子动能；有质量粒子的动量与动能关系不同。

也可按中间量的单位核验计算：普朗克常量除以长度得到动量，动量平方除以质量得到能量，能量再除以电荷得到电压。每一步的物理量都明确，可以定位到底是哪一处指数出错。题给常数只有两位有效数字，最终匹配最接近的选项即可，不需要追求小数点后很多位。

计算所得电压只确定单个电子的动量尺度，不决定电子数目、束流电流或实验总功率。题干未给这些量不妨碍求电压，不能为了补齐无关信息而增加额外假设。