EJU 2004 年第 2 回 物理 第 5 题

设 B 的质量为 $M$，绳张力为 $F$。B 静止，竖直方向合力为零，因此 $F=Mg$。绳质量可忽略，孔口无摩擦，水平段与竖直段的张力大小相同。

A 在水平面上运动，重力与支持力竖直抵消，水平方向只受指向 O 的张力。它沿圆周的速率为 $v=2\pi r/T$，所以向心力关系为 $F=mv^2/r=4\pi^2mr/T^2$。

将两种张力表达式相等，得到 $M=4\pi^2mr/(gT^2)$，也就是 $(mr/g)(2\pi/T)^2$。这里向心力是张力在这段运动中承担的作用，并非在张力之外再加一个力。

周期越短，A 转得越快，需要更大张力，也需要更重的 B 才能保持静止。结果的 $T^{-2}$ 依赖符合这一趋势。两物体通过绳连接，并不要求质量相同。

桌面的光滑条件保证不存在额外水平方向摩擦，因而可将张力完整用于向心力。如果再有其他水平力，向心力方程应写合力，而不能一概等同绳张力。B静止则将其重力直接联系到张力；若B上下加速，张力就不等于其重力。两个条件分别约束两个物体，缺少任一条件都不能照搬此质量表达式。