EJU 2004 年第 2 回 物理 第 4 题

B 从边缘到底部下降高度 $r$，无摩擦时 $\frac12(m/2)u^2=(m/2)gr$，所以碰前速率 $u=\sqrt{2gr}$。这一阶段的质量在能量式中约去。

底部碰撞沿水平切线进行，A 原来静止。由动量守恒与弹性碰撞关系，$\frac m2u=\frac m2v_B+mv_A$，以及 $u=v_A-v_B$。联立得 $v_A=2u/3$、$v_B=-u/3$，负号表示 B 反弹。

A 碰后沿另一侧上升，支持力始终垂直速度而不做功，故 $mgh=mv_A^2/2$。代入 $v_A=2u/3$ 和 $u^2=2gr$，得到 $h=4r/9$。

不能把 B 的初始势能全部转给 A：弹性碰撞只保证总动能守恒，B 仍保留一部分。也不能把速度比例 $2/3$ 直接当作高度比例，后者由速度平方决定。

阶段之间传递的是前一阶段末速度，而不是直接传递高度或全部能量。尤其在碰撞阶段，A获得多少能量要由质量比决定；仅有“弹性”二字只能保证两物体合计动能不变，无法保证能量全部转移。底部的水平切线使一维碰撞模型成立，半球面的具体弧长不进入计算。这样便能理解为什么最后只保留半径的一个无量纲倍数。