EJU 2004 年第 2 回 物理 第 3 题

上滑过程中，重力沿斜面的分量为 $mg\sin\theta$，方向沿斜面向下；动摩擦力也沿斜面向下。垂直斜面没有加速度，故支持力 $N=mg\cos\theta$，动摩擦力大小为 $\mu^{\prime} mg\cos\theta$。

两股力在向上的位移 $\ell$ 上都做负功，支持力不做功。由动能定理，$0-mv_0^2/2=-mg\ell\sin\theta-\mu^{\prime} mg\ell\cos\theta$。约去质量并解出初速度，得 $v_0=\sqrt{2g\ell(\sin\theta+\mu^{\prime}\cos\theta)}$。

同一关系也可理解为初动能等于升高势能 $mg\ell\sin\theta$ 加摩擦耗能。两项相加是上滑过程的特点，不能沿用下滑时重力与摩擦对抗的减号。摩擦增大时，要达到相同停止距离所需初速度应增大，与结果一致。

用力学方法检查时，可以先把减速度大小记为 $b=g(\sin\theta+\mu^{\prime}\cos\theta)$，再由停止距离公式 $\ell=v_0^2/(2b)$ 解出速度。这样与有向加速度的负号分开，较不容易在移项时把摩擦项写错。无论选功法还是运动学法，都必须先确定物体确实处于上滑阶段。题给动摩擦系数，不需要再假定临界静摩擦大小。

将两边质量约去，说明相同动摩擦系数下，这段停止距离对应的初速不依赖物体质量；这是与受力中各项都正比质量一致的结果。