EJU 2005 年第 1 回 物理 第 11 题

两端固定弦的两端都是位移节点。基频振动只有一个波腹，两个固定端之间容纳半个波长，所以弦上波长为$\lambda_s=2L$。弦上的行波速率为v，因而基频$f=v/\lambda_s=v/(2L)$。

弦振动驱动周围空气发声，声波频率与声源振动频率相同。空气中的传播速率是V，并非弦上的v，所以空气声波波长为$\lambda_{\rm air}=V/f=2LV/v$。

频率连接了两种波，波速则由各自介质决定。固定端的半波长条件只作用在弦上，不能把L直接认作空气声波的半波长；只有V与v相同的特殊情况下，空气波长才也等于2L。

还可从周期理解：弦基频周期为$2L/v$，声源每经过这个时间重复一次运动。空气中的声波在一个相同周期内传播距离$V(2L/v)$，就是所求波长。这样既解释了2L的来源，也解释了为什么V在分子、v在分母，避免单凭量纲在六个长度表达式中猜测。

声波在空气中传播时，空气质点主要沿传播方向往复运动，并不是从弦的位置一路被带到远处。这里的V描述声波相位与扰动传播的速率，而f描述质点振动的周期节奏；分别定义二者后，λ=V/f才有清楚的物理意义，也不会把弦质点的振动速度误当成弦波速v。