弦与管的振动·共鸣

発音体の振動と共振・共鳴

III 波／発音体の振動と共振・共鳴

一句话结论

两端固定的弦与开管：L = mλ/2，基频 f₁ = V/(2L)，含全部整数倍谐波。闭管：L = (2m−1)λ/4，基频 f₁ = V/(4L)，只有奇数倍谐波。

弦和管只能发出特定的几个频率，因为两端的边界条件卡死了可能的驻波形状：固定端必须是波节，自由端（开口）必须是波腹。把满足边界的驻波一个个画出来，对应的波长就是允许的波长，频率随之确定。所以这类题的解法永远是「先画驻波」。

为什么是这样

弦和管只能发出特定的几个频率，不是任意频率。原因是边界条件卡死了可能的驻波形状：固定端必须是波节（那里不能动），开口端必须是波腹（那里最自由）。

于是这类题的解法永远是同一个动作：先画驻波。把满足边界条件的驻波一个个画出来，对应的波长就是允许的波长，频率随之确定。画不出来的就不存在。

闭管只有奇数倍谐波，这个结论完全来自画图：一端波节、一端波腹，管长必须是 λ/4 的奇数倍。偶数倍会要求两端同为波节或同为波腹，与边界矛盾。

两端固定的弦、以及两端开口的管：f_m=mV⁄(2L)，含全部整数倍谐波。基频 f₁ = V/(2L)。

一端封闭的管：f_m=(2m−1)V⁄(4L)，只有奇数倍谐波。基频 f₁ = V/(4L)，比同长度的开管低一个八度。

两条式子的分母是 2L 与 4L，差一倍。看到题目里「一端閉じた」「閉管」就必须换用 4L 那条，这是本节最集中的失分点。

f m = (2 m - 1) V 4 L

适用条件

以例题为例：0.5 m 的闭管，管内声速 340 m/s，求基频与下一个能发出的频率。

登录后免费阅读全文

本节还有 8 部分，以及配套的真题和小测验。