EJU 2005 年第 1 回 物理 第 16 题

R变化时，闭合回路总电阻为R+r，电池电动势E不变，因此电流$I=E/(R+r)$也会变化。外电阻单位时间的发热为$P=I^2R=E^2R/(R+r)^2$，不能把公式中的I当成常量。

先检查两端。R为零时，即使电流有限，外部电阻本身为零，外部功率P为零；R非常大时，电流约为E/R，功率约为E²/R，也趋于零。因此正确图形必须从零出发，中间上升，最后回落，而不是一路直线上升或一直保持常值。

要确定峰值，可用$(R+r)^2\ge4Rr$，得到$P\le E^2/(4r)$，等号在R=r成立。也可对R求导，$dP/dR=E^2(r-R)/(R+r)^3$，在R<r时为正、R>r时为负，故只有一个最大值。

题目所问的是外电阻R的发热，不能把内阻r的发热一并算入。短路时外部功率为零，并不表示电池内部无发热；相反，此时电流较大，内阻仍会耗散能量。区分所研究元件后，图形的起点和走势才能正确。

外阻端电压为$V_R=IR=ER/(R+r)$，也会随R改变。所以从P=VR²/R出发时，同样不能把VR误当成固定的电动势E。只有r可忽略时端电压才近似固定；本题含内阻，三种等价功率写法都应配合同一个电流与端电压关系。