EJU 2005 年第 1 回 物理 第 17 题

直导线段在匀强磁场中的安培力为$\boldsymbol F=I\boldsymbol\ell\times\boldsymbol B$，其中长度矢量沿电流方向从P指向Q。本题$\boldsymbol\ell=(x_1-x_0,\ y_1-y_0,\ 0)$，磁场为$(0,B,0)$。

两矢量叉乘只有z分量，得到$F_z=IB(x_1-x_0)$。由于x1大于x0，这个分量为正，力垂直纸面向外；所问大小就是$F=IB(x_1-x_0)$。长度矢量中的y分量与磁场平行，不产生安培力。

若使用大小公式$F=IB\ell\sin\alpha$，α为导线与磁场的夹角，导线全长为$\ell=\sqrt{(x_1-x_0)^2+(y_1-y_0)^2}$。几何关系给$\ell\sin\alpha=x_1-x_0$，得到相同结果。不能把α误作导线与x轴的夹角后仍保留同一个sin。

整个判断的关键是有效长度方向。导线虽然倾斜向上，但磁场也沿竖直方向，竖直部分对安培力没有贡献；水平投影越大，受到的力才越大。可用纯竖直导线时力为零、纯水平导线时力为IBℓ这两个极限检查投影是否选对。

若在保持x1−x0不变的情况下增大y1−y0，导线全长虽然增加，安培力却不变，因为多出的长度分量与磁场平行。这是直接使用水平投影的另一种验证，也说明本题不是“导线越长受力必然越大”的无条件比较。