EJU 2005 年第 1 回 物理 第 2 题

列车虽然速率恒定，运动方向一直变化，因此仍有指向圆心的加速度$v^2/R$。在随车参考系中，箱子相对车厢保持静止，可以引入大小$mv^2/R$、方向向外的惯性力，并与重力一起检查是否会绕底边翻倒。

均匀箱子的重心在几何中心。箱子向外倾倒的临界时刻，内侧底部刚要离开地板，接触支持的作用位置移至外侧底边。选这条底边为转轴，地板接触力不产生关于该轴的力矩；重力的力臂为a/2，向外惯性力的力臂为b/2。

临界力矩平衡为$mg(a/2)=(mv^2/R)(b/2)$，解得$v^2=gRa/b$。超过这个速率，向外翻倒力矩超过重力的恢复力矩，故不倾倒的最大速率为$\sqrt{gRa/b}$。

静摩擦足够大的条件用来保证先出现的是倾倒而非滑动，并不表示静摩擦力可以取任意值。箱子尺寸远小于轨道半径，允许以同一R描述其重心附近的转弯加速度。质量从方程中约去，宽度增加提高稳定性、高度增加降低稳定性，均与结果一致。

支持合力的作用线也可作几何判断：把向下重力与向外惯性力合成，其作用线穿过重心，并必须在底面宽度范围内落地。到最大速率时正好经过外侧底边，与以边为支点的临界力矩条件等价。底边不是始终不变的铰链，而是临界接触状态才形成的支承边缘。