EJU 2005 年第 1 回 物理 第 7 题

将行星质量记为Mp，卫星质量记为ms。卫星每个周期沿圆轨道走过周长2πr，所以其速率为$v=2\pi r/T$，向心加速度为$v^2/r=4\pi^2r/T^2$。这里半径的一次方来自速度平方中的r²再除以r。

万有引力大小为$GM_pm_s/r^2$，方向指向行星中心，提供圆周运动所需的向心合力。因此$GM_pm_s/r^2=m_s4\pi^2r/T^2$。约去ms并乘r²，得到$M_p=4\pi^2r^3/(GT^2)$。

由此行星质量与轨道半径的三次方成正比，与周期的平方成反比。这个比较表示由给定r和T推断中心质量时的函数关系；同一行星的不同卫星，其r与T当然还必须同时满足相同的中心质量。

卫星质量约去，说明在忽略卫星对行星运动影响的常用模型下，观测轨道半径和周期就能估计行星质量。r指向心运动的轨道半径，即距行星中心的距离，不能把离表面的高度直接代入。题目给的是比例判断，无需知道g或任何具体天体数值。

“引力提供向心力”表示两种说法描述同一合力，不是在卫星受力图上画一支引力之外再添一支向心力。引力的方向已经朝向圆心，它本身就负责改变速度方向。若把它们当作两种独立力相加，会让所需中心质量多出没有来源的系数。