EJU 2005 年第 1 回 物理 第 6 题

取两球相距无穷远时的相互作用势能为零。题目说B最初离A足够远，按这一近似初始能量为$mv^2/2$。最近时两球速度相等，由动量守恒共同速率为$u=mv/(m+M)$，所以仍有总动能$(m+M)u^2/2$。

若最近距离为d，同号点电荷的静电势能为$k_0Q^2/d$。能量守恒给$\tfrac12mv^2=\tfrac12(m+M)u^2+k_0Q^2/d$。代入u并整理，势能为$k_0Q^2/d=\tfrac12mv^2-\tfrac12m^2v^2/(m+M)=mMv^2/[2(m+M)]$。

因此$d=2k_0Q^2(m+M)/(mMv^2)$。这里势能与距离成反比，解出的距离也是能量的倒数关系，不需要再开平方。最近时的相对速度虽为零，但质心仍运动，不能省去那部分动能。

电荷越大排斥越强，同一入射速度下最近距离越大；入射速度越大，可用于克服排斥的能量越大，最近距离越小。两种趋势以及k0Q²除能量具有长度量纲，都可用来检查结果。

例如两球质量相等，最近时共同速度为v/2，剩余总动能为mv²/4，初始动能mv²/2中只有一半转为静电势能。代入得到d=4k0Q²/(mv²)，正好是固定A极限距离的两倍。这个具体质量比同时核对了共同动能和最后距离中的系数。