EJU 2005 年第 1 回 物理 第 8 题

理想气体单个分子的平均平动动能只由绝对温度决定，满足$\tfrac12m\langle v^2\rangle=\tfrac32k_{\rm B}T$。两容器温度相同，因此A与B分子的平均平动动能相等，但分子质量未必相等，速率平方的平均值也就未必相等。

分别写出$m_{\rm A}\langle v_{\rm A}^2\rangle=3k_{\rm B}T$与$m_{\rm B}\langle v_{\rm B}^2\rangle=3k_{\rm B}T$。两式相除，温度与共同常数约去，得到$\langle v_{\rm A}^2\rangle/\langle v_{\rm B}^2\rangle=m_{\rm B}/m_{\rm A}$。

分子越重，要具有同样平均动能，其速率平方的平均值就越小，所以质量比必须反过来。题目问的是“速率平方的平均值”，不是均方根速率；因此比值直接是反质量比，而不是其平方根。

总质量MA、MB用于确定各容器的分子数量，不进入这个单分子平均关系。相同体积也并非此问必要的消去条件，它在比较两气体压强时才会发挥作用。逐一明确哪些量描述单个分子、哪些量描述整份气体，可以避免把题目中所有质量符号混合使用。

如果把某一容器的气体量增加一倍但温度保持不变，分子总数和总平动动能都会增加一倍，单个分子的平均平动动能却不变，所求速率平方平均值也不变。这再次说明大写总质量虽已给出，却不应进入本题的单粒子速度比。