EJU 2005 年第 1 回 物理 第 9 题

两份理想气体保持相同温度和相同体积。以分子数N写理想气体状态方程$pV=Nk_{\rm B}T$，相同V和T下，压强与分子数成正比。因此$p_{\rm A}/p_{\rm B}=N_{\rm A}/N_{\rm B}$。

A的总质量为MA，每个分子的质量为mA，所以分子数$N_{\rm A}=M_{\rm A}/m_{\rm A}$；同理$N_{\rm B}=M_{\rm B}/m_{\rm B}$。两者相除，得到$p_{\rm A}/p_{\rm B}=(M_{\rm A}/m_{\rm A})/(M_{\rm B}/m_{\rm B})=M_{\rm A}m_{\rm B}/(M_{\rm B}m_{\rm A})$。

这一步同时使用了两组质量，不能只保留总质量比或单分子质量比。相同总质量的两种气体，如果A的分子更轻，A就含更多分子，因而同温同体积时压强更大；相同分子质量时，结果才简化成总质量之比。

也可用动理论$p=\tfrac13(M/V)\langle v^2\rangle$核对：同温下速率平方比为mB/mA，再乘总质量密度比MA/MB，正好得到同一结果。这同时说明同温只确定每个分子的平均动能，容器压强还要看有多少个这样的分子。

若用物质的量写pV=nRT，也应先把总质量除以摩尔质量。摩尔质量等于单分子质量乘阿伏加德罗常数，两种气体相除后该常数消去，最终仍为总质量比乘反单分子质量比。这与粒子数方法完全一致，不能直接将大写总质量当作物质的量。